- 数学要素(全彩图解 + 微课 + Python编程)
- 姜伟生
- 650字
- 2024-12-27 22:40:19
1.6 矩阵:一组列向量,或一组行向量
矩阵可以看做是,若干列向量左右排列,或者若干行向量上下叠放。比如,形状为2×3的矩阵可以看成是3个列向量左右排列,也可以看成是2个行向量上下叠放,如
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一般情况下,如图1.19所示,形状为n×D的矩阵X,可以写成D个左右排列的列向量,即
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X也可以写成n个行向量上下叠放,即
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图1.19 矩阵可以分解成一系列行向量或列向量
实际上,式(1.12)和式(1.13)蕴含着一种重要的思想——矩阵分块(block matrix或partitioned matrix)。鸢尾花书《矩阵力量》一册会详细介绍矩阵分块及相关的运算规则。
注意:为了区分含序号的列向量和行向量,鸢尾花书将列向量的序号写成下角标,比如x1、x2、xi、xD等;将行向量的序号写成上角标加圆括号,比如x(1)、x(2)、x(j)、x(n)等。列索引一般用i,行索引一般用j。
矩阵转置
矩阵转置(matrix transpose)指的是将矩阵的行列互换得到的新矩阵,如
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式(1.14)中,3×2矩阵转置得到矩阵的形状为2×3。
图1.20所示为矩阵转置示意图,其中红色线为主对角线(main diagonal)。
再次强调,主对角线是从矩阵第1行、第1列元素出发向右下方倾斜45°斜线。
转置前后,矩阵主对角线元素位置不变,如式(1.14)的1、4两个元素。向量转置是矩阵转置的特殊形式。
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图1.20 矩阵转置
如图1.20所示,将矩阵A写成三个列向量左右排列[a1,a2,a3],对A转置得到的结果为
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这一点对于转置运算非常重要,再举个具体例子。给定以下矩阵,并将其写成左右排列的列向量。
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式(1.16)矩阵转置结果为
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反之,将矩阵A写成三个行向量上下叠放,对A转置得到的结果为
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请大家根据上式,代入具体值自行完成类似式(1.17)的验算。