3.2.2 博弈均衡分析与求解

1.下层子博弈

在3.2.1节建模的抗干扰Stackelberg功率控制博弈中，干扰作为跟随者需要估计用户的发射功率策略，不精确的估计可能产生观测误差。与文献[25]类似，干扰的观测误差可定义为ε=|P～-P|/P，其中P～表示干扰对用户发射功率的观测值。干扰追求自身效用的最大化，考虑到发射链路信道增益α和干扰功率代价C_j的不确定性，干扰的优化问题可建模为

式中， J_M为干扰的最大干扰功率。根据上述优化问题，最佳干扰功率为

对于干扰来说，假设随机变量α和C_j相互独立。随机变量α的 M 个状态分别是α₁，…，α_m，…，α_M，其概率分布为φ₁，…，φ_m，…，φ_M，并满足。随机变量C_j的W个状态分别是C_j1，…，C_jw，…，C_jW，其概率分布为к₁，…，к_w，…，к_W，并满足。

通过求解式（3-5）和式（3-6）构成的优化问题，干扰可以获得推论3.1所示的最佳功率策略。

推论3.1：干扰的最佳功率策略为

其中，（.）+□max（.，0）。如果用户的发射功率太小（例如，，那么干扰功率为0，不再进行干扰。

证明：根据文献[24-25]中的论述，由于满足

因此，干扰的效用函数是干扰功率J的凹函数，式（3-5）和式（3-6）组成的优化问题为一个凸优化问题。基于对偶优化理论[46-147-149]，可以得到最佳干扰策略。首先，通过引入非负对偶变量λ，式（3-5）和式（3-6）所组成优化问题的拉格朗日函数为

拉格朗日对偶函数为

相应的对偶问题为

根据库恩-塔克（Karush-Kuhn-Tucker，KKT）条件，可得

根据式（3-13），可以得到。由于式（3-5）和式（3-6）组成的优化问题是一个凸优化问题，强对偶条件成立。因此，对偶间隙为零，对偶问题的最优解即为原问题的最优解。

证毕。

2.上层子博弈

考虑到干扰链路信道增益β和用户发射功率代价C_s的不确定性，用户的最佳功率策略可以通过求解下面的优化问题得到。

其中， P_M表示用户的最大发射功率， J （P）如式（3-8）所示。用户的最佳发射功率为

对于用户来说，假设随机变量β和C_s相互独立。随机变量β的 R 个状态分别为β₁，…，β_r，…，β_R，其概率分布为ρ₁，…，ρ_r，…，ρ_R，并满足。随机变量C_s的H个状态分别为C_s1，…，C_sh，…，C_sH，其概率分布为g₁，…，g_h，…，g_H，并满足。

推论3.2：用户的最佳功率策略为

其中，。

证明：将式（3-8）代入式（3-3），可以得到

其中，。

根据式（3-18），当满足条件P≤Λ时，用户的效用函数是发射功率P的线性函数。当满足条件P＞Λ时，由于满足

因此，用户的效用函数是发射功率P的凹函数。

通过引入非负对偶变量μ，式（3-14）和式（3-15）所组成优化问题的拉格朗日函数为

类似于下层子博弈的分析过程，可得用户的最佳发射功率为

根据式（3-18），可分以下几种情况进行讨论：

情况1：。

在这种情况下，满足条件Λ≤P_opt。用户效用函数时获得最大值。

情况2：。

在这种情况下，满足条件Λ＞P_opt。用户效用函数时获得最大值。

情况3：。

在这种情况下，满足条件P≤Λ，用户效用函数是发射功率P的单调递减函数。用户效用函数时获得最大值。

证毕。

对偶变量λ和μ可通过次梯度法进行更新。

式中，n为迭代次数；和均为迭代步长。

3.Stackelberg均衡分析

根据文献[44]，Stackelberg均衡可定义如下。

定义3.1：如果对于P≥0和J≥0，满足条件

那么最佳策略集合（ P*， J*）构成所提博弈的 Stackelberg 均衡（Stackelberg Equilibrium，SE）。

推论3.3：所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈总是存在一个SE解。

证明：给定一个用户的发射功率策略P，则有以下两种情况。

（1）干扰的策略空间{J∶0≤J≤J _M}是欧式空间上的非空凸紧子集。

（2）效用函数是干扰功率J的连续凹函数。

基于文献[150]中的论述，在下层子博弈中存在一个 NE 解，NE（P）表示在给定用户发射功率P时的最佳响应。定义3.1中的SE可等价定义为

因此，存在P*满足

因而，所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈总是存在SE解。

证毕。

推论3.4：所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈存在唯一的SE解。

证明：根据式（3-9），满足条件。在给定用户发射功率 P 的条件下，干扰的效用函数是干扰功率J的凹函数。因此，干扰存在唯一的最佳策略NE（P*）。

根据推论 3.2，用户存在唯一的最佳发射功率策略P*。因此，所提的抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈存在唯一的SE解。

证毕。