5.1　斐波那契数列

列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250），意大利数学家，他在研究兔子繁殖问题时，发现了斐波那契数列。一般而言，兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨从一对新出生的小兔子开始分析一下：

第一月，兔子刚出生，只有一对兔子；

第二月，小兔子还没有繁殖能力，所以还是一对；

第三月，生下一对小兔，共有两对兔子；

第四月，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。这样继续画下去我们可以得到图5-1。

我们把月份、成年兔子对数和幼仔对数放入一张表，依此类推可以列出表5-1。

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有个十分明显的特点：前面相邻两项之和构成了后一项。这样我们把兔子对数写下来构成斐波那契数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

如果设a_n为该数列的第n项（n∈N*），那么相邻项的关系可以写成如下形式：

a_n=a_n-1+a_n-2

此时，

a₁=1，a₂=1　a_n=a_n-1+a_n-2　（n≥3，n∈N*）

有了这个公式，我们用程序来产生斐波那契数列的前100项，并把它存在一张表里面，程序如下：

这个程序里面使用了列表这种数据结构，列表是Python中一个重要的数据对象，可以把它看成一个一排编了号的抽屉，抽屉中能存放任何能放得下的东西，可以通过编号访问，可以排序，可以增加。表5-2列出了常用的操作中列表的方法，表中假设已经定义了一个列表L。

人们发现，当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，我们可以试着计算一下：

1÷1=1，

1÷2=0.5，

2÷3=0.666…，

3÷5=0.6，

5÷8=0.625，

……

55÷89=0.617 977…，

144÷233=0.618 025…，

……

46 368÷75 025=0.618 033 988 6…，

……

可以看到，从第11个数开始，已经与黄金分割比的前三位小数一致了。仍然用前面的小程序来核算一下：