2.5.1 静止坐标系数学模型

类似于2.3.1节的推导方法，建立电动机的电感矩阵L如下：

其中，绕组自感L_ii（i=A～F），互感M_ij（i，j=A～F，且i≠j）的推导类似于2.3节和2.4节中的相关推导。

六个绕组自感推导结果如下：

式中，α=30°，L_sσ1为相绕组漏电感。

在忽略互漏感时，六个绕组互感推导结果如下：

其中，式（2-99）和式（2-100）中有关变量关系为L_smn=L_sm1/n,L_rsn=L_rs1/n。所以对应的基波及谐波电感幅值L_sm1=0.5（L_dm1+L_qm1）,L_rs1=0.5（L_dm1-L_qm1）,L_sm3=0.5（L_dm1+L_qm1）/3,L_rs3=0.5（L_dm1-L_qm1）/3,L_sm5=0.5（L_dm1+L_qm1）/5，L_rs5=0.5（L_dm1-L_qm1）/5。

把式（2-99）和式（2-100）代入式（2-98）中，并化简结果如下：

其中，基波平面电感的直流和交流分量系数L_DC1、L_AC1分别如下：

3次谐波平面电感的直流和交流分量系数L_DC3、L_AC3分别如下：

5次谐波平面电感的直流和交流分量系数L_DC5、L_AC5分别如下：

把基波平面上幅值为ψ_f1的永磁体磁链、3次谐波平面上幅值为ψ_f3的永磁体磁链、5次谐波平面上幅值为ψ_f5的永磁体磁链分别向各自平面的A～F轴线进行投影，然后对应轴线上的投影求和，即可得到A～F相绕组耦合的永磁体磁链ψ_Af～ψ_Ff分别如下：

式（2-108）左右两边对时间求导数，即可推导出A～F相绕组中的反电动势如下：

根据电动机学中磁路耦合原理分析，定子各相绕组磁链等于自感磁链、他相对其产生的互感磁链及永磁体耦合磁链之和，而绕组电流产生的自感磁链及互感磁链可以用上述推导的电感与电流的乘积表示。所以，建立A～F相绕组磁链ψ_sA～ψ_sF数学模型如下：

绕组电阻压降、绕组反电动势之和与绕组端电压u_sA～u_sF相平衡，从而建立绕组A～F电压平衡方程式如下：

为了推导电磁转矩表达式，需建立多相电动机的磁共能表达式。假设电动机磁路为线性磁路，则双三相永磁同步电动机的磁共能如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE i_sF］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef ψ_Ff］T分别为定子电流及相绕组耦合永磁体磁链列矢量。式（2-112）两边对转子位置角的机械角求偏微分得出电磁转矩T_e如下：

其中

根据式（2-113）～式（2-117）可见，反电动势中含有5次谐波后，两套三相绕组5次谐波反电动势对称，所以电动机除了产生基波转矩外，还包括5次谐波转矩成分，使得该种电动机产生的转矩更加灵活。反电动势中虽然含有3次谐波，但若两套绕组中心点不连接，则由于没有3次谐波电流通路，3次谐波对转矩没有影响；若把两套绕组中心点连接起来，则3次谐波电流具备流通通路，所以3次谐波会产生转矩脉动。同时，从以上数学模型建立过程及结果可见，由于反电动势含有谐波后，使得自然坐标系中的数学模型更加复杂，因此，如何进一步简化该数学模型，更加方便电动机瞬时转矩控制策略的构建，是实现该类型电动机高性能驱动控制的关键。

为此，采用坐标变换方法，把实际电动机模型映射到α₁β₁机电能量转换基波平面、α₅β₅机电能量转换5次谐波平面及α₃β₃非机电能量转换平面。根据2.2节多相交流电动机多平面分解坐标变换理论，构建六相自然坐标系变量向α₁β₁α₅β₅α₃β₃的变换矩阵T₆，该变换同时遵循了变换前后系统功率不变原则。

式中，矩阵的第一、二行把基波和6k±1（k=2，4，6…）次谐波映射到α₁β₁平面上，矩阵的第三、四行把6k±1（k=1，3，5…）次谐波映射到α₅β₅平面上，矩阵的最后两行把3k（k=1，2，3…）次谐波映射到α₃β₃平面上。同时满足。

式（2-110）两边同时左乘变换矩阵T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃轴系下的定子磁链表达式如下：

其中，变量在α₁β₁α₅β₅α₃β₃轴上分量用下角区分。

把式（2-98）电感矩阵L、变换矩阵T₆代入式（2-119）中，进一步推导得

式中，，分别为转子永磁磁链在α₁β₁轴上的投影；，分别为转子永磁磁链在α₃β₃轴上的投影；，分别为转子永磁磁链在α₅β₅轴上的投影。L_σ=L_sσI₆，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3+L_sσ5。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，i_s5=［i_sα5 i_sβ5］T，ψ_r5=［ψ_rα5 ψ_rβ5］T，则L_θr1、L_θr3、L_θr5分别如下：

则式（2-120）进一步简记为

式（2-111）两边同时左乘变换矩阵T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃轴系下的定子电压表达式如下：

考虑磁路线性的情况下，电动机的磁共能如下：

所以电磁转矩如下：

从式（2-127）可见，反电动势含有5次谐波的五相对称绕组永磁同步电动机机电能量转换同时处于α₁β₁平面和α₅β₅平面上，电磁转矩是两个平面上的定子磁链矢量与定子电流矢量的叉乘之和；而由式（2-125）进一步可见，两个平面上的定子磁链与该平面上的定子电压和定子电流有关，若忽略定子电阻压降，则各平面上的定子磁链直接由该平面的定子电压控制。3次谐波平面不参与机电能量转换，但两套绕组中若有3次谐波流过，则会在总转矩上产生转矩脉动。