任务三 用水平面代替水准面的限度
当测区范围较小时,可以把水准面看作水平面。探讨用水平面代替水准面对距离、角度和高差的影响,以便给出限制水平面代替水准面的限度。
一、对距离的影响
如图1-8所示,地面上A、B两点在大地水准面上的投影点是a、b,用过a点的水平面代替大地水准面,则B点在水平面上的投影为b′。
设ab的弧长为D,ab′的长度为D′,球面半径为R,D所对圆心角为θ,则以水平长度D′代替弧长D所产生的误差ΔD为:
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图1-8 用水平面代替水准面对距离和高程的测量误差
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取地球半径R=6371km,并以不同的距离D值代入式(1-5),则可求出距离误差ΔD和相对误差ΔD/D,见表1-1。
表1-1 水平面代替水准面的距离误差和相对误差
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结论:在半径为10km的范围内,进行距离测量时,可以用水平面代替水准面,而不必考虑地球曲率对距离的影响。
二、对水平角的影响
从球面三角学可知,同一空间多边形在球面上投影的各内角和,比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε。
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式中:ε为球面角超值,(″);P为球面多边形的面积,km2;R为地球半径,km;ρ为一弧度的秒值,ρ=206265″。
以不同的面积P代入式(1-6),可求出球面角超值,见表1-2。
表1-2 水平面代替水准面的水平角误差
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结论:当面积P为100km2时,进行水平角测量时,可以用水平面代替水准面,而不必考虑地球曲率对距离的影响。
三、对高程的影响
如图1-8所示,地面点B的绝对高程为HB,用水平面代替水准面后,B点的高程为H′B,HB与H′B的差值,即为水平面代替水准面产生的高程误差,用Δh表示,则
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上式中,可以用D代替D′;Δh相对于2R很小,可略去不计,则
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以不同的距离D值代入式(1-9),可求出相应的高程误差Δh,见表1-3。
表1-3 水平面代替水准面的高程误差
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结论:用水平面代替水准面,对高程的影响是很大的,因此,在进行高程测量时,即使距离很短,也应顾及地球曲率对高程的影响。