3.3　平面任意力系向作用面内一点的简化

研究平面力系的简化问题，就是要用一个最简单的力系，等效替换一般的平面力系。在简化之前，先给出力的平移定理，它是力系简化的工具。

3.3.1　力的平移定理

作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须在该力与B决定的平面内同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力的平移定理。

证明：如图3-8所示，在刚体上A点作用着力F，在刚体上任选一点B，由加减平衡力系原理，在B点加上一对平衡力F'和-F″，并令F＝F'＝-F″，则F和F″构成一个力偶，其矩为M＝±Fd＝MB（F）。

于是作用在A点的力F就由作用在B点的力F'＝F及附加力偶M等效地代替了，证毕。

此定理的逆过程为作用在刚体上一点的一个力和一个力偶可以用一个力等效，此力为原来力系的合力。

3.3.2　平面任意力系向作用面内一点简化

设刚体上作用的n个力F1、F2、…、Fn组成平面任意力系，如图3-9（a）所示，在力系所在平面内任取点O作为简化中心，由力的平移定理，可将力系中各力矢量向O点平移，如图3-9（b）所示，得到作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加平面力偶系M1、M2、…、Mn。

平面汇交力系可以合成为力的作用线通过简化中心O的一个力，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。有

平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一个力偶，其矩为MO，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心矩的代数和。有

结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图3-9（c）所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。因此在提到主矩时必须指明简化中心。

力系主矢的计算，可以根据力在轴上的投影及合力投影定理，直接由原始力系得出。即选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影，最后求得主矢的大小和方向。即

主矩的解析表达式为

3.3.3　平面任意力系简化结果讨论

平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩，进一步分析可能出现以下四种情况：①，MO≠0；②，MO＝0；③，MO≠0；④，MO＝0。

分别讨论这些情况，可以得到力系简化的最终结果和一些有用的结论，分别如下：

（1），MO≠0。说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出的是：当力系简化为一个力偶时，主矩将与简化中心的选取无关。

（2），MO＝0。这说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心O点，这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记，以将它与一般力系的主矢相区别。

（3），MO≠0。这种情况还可以进一步简化。由力系平移定理知：与MO可以由一个力FR等效替换，这个力，但其作用线不通过简化中心O。若设合力作用线到简化中心O的距离为d，则

另外，由图3-10（b）及简化过程知：

于是得合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任意点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。

（4），MO＝0。这表明：该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定理知，此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。这种情形将在3.4节中讨论。

【例3-4】　重力坝受力如图3-11（a）所示，设P1＝450kN，P2＝200kN，F1＝300kN，F2＝70kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。

解：（1）先将力系向点O简化，求得其主矢和主矩MO[图3-11（b）]。由图3-11（a）有

所以主矢在x、y轴上的投影为：

由式（3-13）可得主矢大小为

由式（3-14）可得主矢的方向余弦为

则有

由于为正，为负，故主矢在第四象限内，与x轴的夹角为-70.84°。

由式（3-12）可得力系对点O的主矩为

（2）合力FR的大小和方向与主矢相同。其作用线位置的x值可根据合力矩定理求得[图3-11（b）]，即

其中

故

解得

（3）设合力作用线上任一点的坐标为（x，y），将合力作用于此点，则合力为FR对坐标原点的矩的解析表达式为

将已求得的MO、∑Fx、∑Fy的代数值代入上式，得合力作用线方程为

即