1.1　极限及其应用

极限的概念是微积分理论赖以建立的基础。在研究极限的过程中，一方面会证明许多在图像处理中将要用到的公式，另一方面还会得到所谓的自然常数（或称纳皮尔常数）。图像处理技术中的很多地方都会遇到它，例如用来对图像进行模糊降噪的高斯函数，以及泊松噪声中的自然常数。而且之后的内容还会讲到欧拉公式，届时自然常数还将会再次出现。

1.1.1　数列的极限

定义　对于数列{a_n}，若存在常数a对于任意给定的正数ε均存在正整数N，当n＞N时，恒有|a_n-a|＜ε成立，则称数列{a_n}存在极限（或收敛），常数a称为数列的极限，记为

若上述常数不存在，则称数列不存在极限（或发散）。

借助数列极限的定义，下面讨论一个有趣的问题。根据基本的数学知识，且1÷3×3=1，但是，于是得出一个看起来非常奇怪的结论，即无限循环小数是等于1的。这似乎与常理有些悖逆，例1.1很好地解释了这个结论。

例1.1　设，试证明极限：a_n→1（n→+∞）。

解　由于=1-10^-n，所以对于∀ε＞0，要找到一个N∈ℕ，使得|a_n-1|=|（1-10^-n）-1|=10^-n＜ε，可两边同时取对数，得n·ln10^-1＜lnε。显然这样的N是存在的，只要将其做如下取值便可

夹逼定理　设x_n≤a_n≤y_n（n=1，2，…），且数列{x_n}和{y_n}收敛到相同极限，那么数列{a_n}也收敛，且有

证明　因为数列{x_n}和{y_n}收敛到相同极限，所以不妨设

首先，由数列极限的定义，∀ε＞0，∃N∈ℕ，当n＞N时，有|x_n-a|＜ε和|y_n-a|＜ε，即a-ε＜x_n＜a+ε，a-ε＜y_n＜a+ε。又因x_n≤a_n≤y_n，所以a-ε＜x_n≤a_n≤y_n＜a+ε。于是得到a-ε＜a_n＜a+ε，即|a_n-a|＜ε成立，结论得证。

实数的连续性公理　有上界的数列一定有上确界，有下界的数列一定有下确界。

设S是ℝ（实数）中的一个数集，若数η满足：对于一切x∈S，有x≤η（即η是S的上界），并且对于任何α＜η，存在x₀∈S，使得x₀＞α（即η是S的上界中最小的一个），则称数η为数集S的上确界，记作η=supS。同样，若数ξ满足：对于一切x∈S，有x≥ξ（即ξ是S的下界），并且对于任何β＞ξ，存在x₀∈S，使得x₀＜β（即ξ是S的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ=infS。上确界与下确界统称为确界。函数f在其定义域D上有上界，是指值域f（D）为有上界的数集，于是数集f（D）有上确界。通常把f（D）的上确界记为（x），并称之为f在D上的上确界。类似地，若f在其定义域D上有下界，则f在D上的下确界记为（x）。这也就表明集合的上确界就是数集的最小上界，集合的下确界就是数集的最大下界。如果用更严格的数学语言描述，即η=supS⇔∀x∈S，一定有x≤η，∀ε＞0，∃x′∈S，使得x′＞η-ε。下确界的数学表述与此类同，这里不再赘述。

单调有界原理　数列{a_n}单调增加且有上界，即a₁≤a₂≤…≤a_n-1≤a_n≤…，且存在常数M，使得a_n≤M，则数列{a_n}存在极限。

推论　数列{a_n}单调下降且有下界，即a₁≥a₂≥…≥a_n-1≥a_n≥…，且存在常数m，使得a_n≥m，则数列{a_n}存在极限。

下面就利用连续性公理证明单调有界原理。

证明　根据连续性公理，又已知数列{a_n}有上界，不妨记，则M₀有上确界，并记η=supM₀。∀ε＞0，由上确界的定义，一定可以找到a_N＞η-ε。则当n＞N时，有a_n＜η+ε。由于函数单调递增，所以有η-ε＜a_N≤a_n＜η+ε，即|a_n-η|＜ε，综上可得

即数列存在极限。

下例演示了利用单调有界原理证明数列存在极限的方法。

例1.2　证明数列{a_n}存在极限，其中数列的通项如下

解　首先考虑数列的单调性，利用二项式定理对a_n进行展开，有

显然，a_n+1＞a_n（n=1，2，…），即函数是单调递增的。

接下来证明a_n有上界。考虑对a_n做适当放大，利用等比数列求和公式，有

所以，数列{a_n}单调递增且有上界，根据单调有界原理，该数列的极限存在。

这个数列的极限就被定义为自然常数，它是一个无限不循环的小数，也就是无理数。

此外，上面的证明过程还说明，e可以表示为级数形式，即

聚点原理　任何有界数列均存在收敛的子数列，即如果数列{a_n}满足|a_n|＜M，其中M＞0为常数，则{a_n}存在收敛的子数列。

柯西收敛原理　数列{a_n}收敛的充分必要条件是：对于任意正数ε均存在正整数N，当m，n＞N时，恒有|a_n-a_m|＜ε成立。

证明　设a_n→a（n→+∞）。∀ε＞0，∃N∈ℕ，当n＞N时，有|a_n-a|＜ε。因为ε是任取的，于是令|a_n-a|＜ε/2，则当m，n＞N时，根据三角不等式，有|a_n-a_m|≤|a_n-a|+|a_m-a|成立，即|a_n-a_m|＜ε/2+ε/2=ε，所以必要性得证。

反过来，∀ε＞0，∃N∈ℕ，当m，n＞N时，有|a_n-a_m|＜ε成立，那么就可以推出数列有界。假设固定m的值，则a_m也是一个确定值，此时有|a_n|＜ε+|a_m|，又因m＞N，这也就表明从N以后的所有项都是有界的，而前面只有有限项。所以表明{a_n}是有界的。再根据聚点原理，{a_n}一定存在收敛的子数列，不妨设原数列的一个收敛子数列如下

根据数列极限的定义，则存在充分大的k，使得|-a|＜ε，同时n_k＞N，根据三角不等式有|a_n-a|≤|a_n-|+|-a|＜2ε。所以有

即充分性得证，所以定理得证。

柯西收敛原理的另外一种等价形式　数列{a_n}收敛的充分必要条件是：对于任意正数ε均存在正整数N，当n＞N时，|a_n-a_n+p|＜ε对于一切p=1，2，…都成立。

例1.3　利用柯西收敛原理，证明数列{a_n}发散，其中数列的通项如下

解　考虑两个特殊项之间的距离为

显然与柯西收敛原理相悖，所以原数列是发散的。

1.1.2　级数的敛散

定义　对于级数，若其部分和数列{S_n}收敛，且极限为S，则称级数收敛，S称为该级数的和，记为=S。若部分和数列{S_n}发散，则称该级数发散。

级数的柯西收敛定理　级数收敛的充分必要条件是：对于任意正数ε，存在正整数N，当n＞N时，不等式|a_n+1+a_n+2+…+a_n+p|＜ε对于所有p=1，2，…都成立。

推论　若级数收敛，则

例1.4　证明下列级数收敛

证明　因为k²＞k（k+1）/2对于所有的k＞1都成立，所以有

即n＞2/ε，所以取N=[2/ε]+1，当n＞N时，有|a_n+1+a_n+2+…+a_n+p|＜ε成立，于是根据柯西收敛原理，原级数收敛。

关于上面这个级数敛散性的讨论，在数学史上曾经是一个非常有名的问题。大数学家莱布尼茨曾经在惠更斯的指导下对级数的敛散性进行过研究。后来莱布尼茨的学生伯努利兄弟（雅各·伯努利和约翰·伯努利）从他们老师的某些研究成果出发，最终证明了调和级数的发散性，以及几何级数的收敛性。但是，几何级数最终收敛到多少这个问题却一直困扰着他们。最终，雅各·伯努利也不得不几乎绝望地宣告了他的失败：“如果有人能够发现并告知我们迄今为止尚未解出的难题的答案，我们将不胜感谢。”所幸的是，“几何级数到底等于多少”这个难题最终被约翰·伯努利的学生欧拉破解。欧拉使用了一种极其巧妙的方法得出

定理　设是正项级数，则该级数收敛的充要条件是其部分和数列{S_n}有界，即存在不依赖于n的正的常数M，使得S_n=a₁+a₂+…+a_n≤M，n=1，2，…。

例1.5　设p＞1为常数，试证明下列p级数收敛（特别地，当p=1时，该级数又称为调和级数）

证明　当p＞1时，原级数的前n项部分和

借助积分的概念，比较图1-1中各个小矩形面积之和与曲线所表示的积分面积的大小，得

所以

即级数的部分和数列有界，所以原级数收敛。

1.1.3　函数的极限

本节介绍两个重要的函数极限，并讨论它们的应用。

重要极限1

考虑设法利用已知的数列极限证明上述结论。

当x＞1时，[x]≤x＜[x]+1，于是可得

又根据已知的数列极限可知

因此，由夹逼定理可得

再考虑x→-∞时的情况，可以令y=-x，于是有

综上，结论得证。

此外，该重要极限的另一种形式也常被用到，即

由此，也很容易推出如下结论，证明从略，有兴趣的读者可以自行尝试推导

重要极限2

假设有图1-2所示的一个单位圆，根据三角形和扇形面积的大小关系，很容易得出结论，如果采用具体数值表示，则显然有sinx＜x＜tanx。对于0＜x＜π/2，易得

于是由夹逼定理，可得

接下来讨论x→0^-的情况，可以令x=-y，于是便可推出如下结论：

综上，结论得证。

由此，也很容易推出如下结论，证明从略，有兴趣的读者可以自行尝试推导

同理

1.1.4　极限的应用

利用已经得到的成果，下面试着讨论概率论中会被用到的一个非常重要的结论。在此之前，这里稍微补充介绍关于多重积分的一些内容，接下来讨论的问题涉及多重积分。

设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域Δσ₁，Δσ₂，…，Δσ_n，这里Δσ_i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσ_i上任取一点（ξ_i，η_i），做乘积f（ξ_i，η_i）Δσ_i，其中i=1，2，…，n，并做和

若当各小闭区域的直径中最大值λ趋近于零时，该和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作如下形式

其中，f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域。

二重积分定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网格划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项和极限为零，因此这些小闭区域可以忽略不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域Δσ_i的边长为Δx_j和Δy_k，则Δσ_i=Δx_j·Δy_k。因此，在直角坐标系中有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作如下形式

其中，dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。

二重积分的几何解释为：曲顶柱体的体积就是函数f（x，y）在底D上的二重积分，其中f（x，y）表示一个被划分出来的小柱体的高，而dσ即表示该小柱体的底面积。

在二重积分的基础上，很容易推广得到三重积分。设f（x，y，z）是空间有界闭区域Ω上的有界函数。将Ω任意分成n个小闭区域Δv₁，Δv₂，…，Δv_n，其中Δv_i表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个Δv_i上任取一点（ξ_i，η_i，ζ_i），做乘积f（ξ_i，η_i，ζ_i）Δv_i，i=1，2，…，n，再做和

如果当各小闭区域的直径中最大值λ趋近于零时，该和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y，z）在闭区域Ω上的三重积分，记作

通常把dv叫做体积元素。与二重积分类似，对于直角坐标系，三重积分可以记作

其中，dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素。

借助上述关于重积分的介绍，下面研究关于概率积分的一些内容。

例1.6　计算如下二重积分，积分区域如图1-3所示。其中，D₁是以R为半径的圆周在第一象限内的部分，D₂是以为半径的圆周在第一象限内的部分，D₃是以R为边长的正方形。

试比较I₁、I₂与I₃的大小，并证明概率积分的值如下：

解　如果用极坐标形式描述D₁：0≤θ≤π/2，0≤ρ≤R。因此，可以将积分I₁转化为极坐标下的累次积分。

同理可得

此外，D₃={（x，y）|0≤x≤R，0≤y≤R}，所以有

从图1-3中分析可知，I₁＜I₃＜I₂，于是有

当R→+∞时，显然有

于是由夹逼定理可知

定理得证。

此外，由于被积函数是偶函数，所以函数图形是关于y轴对称的，于是还可得到