2.1　运动方程的建立

【例2.1】　已知弹簧—质量系统如图2.4所示，质量为m，弹簧刚度为k，弹簧原长为l。试确定系统的振动方程。

【解】　图2.4是最简单的单自由度系统。考察弹簧—质量系统沿铅垂方向的自由振动。设x1向下为正，由牛顿第二定律知系统的运动方程为

若设偏离静平衡位置的位移为x，则因x1=x+l+mg/k，故上式变为

因此，当像重力一类的不变力作用时，可只考虑偏离系统静平衡位置的位移，那么运动方程中不会再出现重力这类常力，使方程形式变得简洁。现约定，以后若无特别指明，一律以系统稳定的静平衡位置作为运动（或广义）坐标的原点。

【例2.2】　如图2.5所示扭摆，已知扭轴的切变模量为G，极惯性矩为Ip，转动惯量为J，轴长为l。试求扭摆的振动方程。

【解】　如图2.5所示，相对于固定轴x发生扭动，以θ为广义坐标建立系统的转动运动方程。经分析知有两力矩作用在圆盘上，即惯性力矩和恢复力矩。由动静法原理得

其中 为轴的扭转刚度，设为kt，故

【例2.3】　一质量为m的重物附加在简支梁上，系统参数及截面尺寸如图2.6（a）、（b）所示。试将系统简化为单自由度系统，并求其振动方程。

【解】　梁的质量与m相比可略去。弹簧常数k取决于质量m在梁上的位置。对图2.6（a）所示的简支梁，由材料力学得

因矩形横截面惯性矩 ，所以

将带重物的简支梁简化为图2.6（c）所示的相当系统，惯性力与弹性恢复力相平衡，则有

如果梁的两端不是简支，则Δ应有不同数值。

【例2.4】　如图2.7所示系统，相关参数已在图上标出。试求系统的振动方程。

【解】　求解时可以选择任意坐标x1、x2、θ作为变量，但它们相互关联，只有一个是独立的。现取绕固定轴O的转角θ为独立坐标，则等效转动惯量

Jc=m1a2+m2b2+m3r2

其中，r是m3的惯性半径。系统的等效角刚度

ke=k1a2+k2b2+k3c2

可以取x1为独立坐标，于是

经推导可得系统运动方程

同理以x2为独立坐标，可得

不难验证A=B=C。

可见，对结构较复杂的单自由度系统（其中有些元件作平移，另一些作转动），不管选择哪一个坐标变量作为独立坐标，其振动方程形式不变。这说明系统固有振动规律与坐标选择无关。