2.4 矩阵的运算

MATLAB矩阵运算法则，既要符合一维数组运算法则，又要符合线性代数运算规则。只需使用简单的几个函数，即可求解线性代数大部分问题。

2.4.1 矩阵的运算指令

MATLAB矩阵的运算指令及含义如表2-5所示。

2.4.2 矩阵的加减法

两个同型矩阵加减法的运算规则是对应元素相加减。若行数和列数不同的两个矩阵进行相加或相减，则显示出错。标量可以同任意矩阵相加减。

【例2-12】 若A、B分别为3阶1方阵和3阶魔方阵，标量k为6，试进行加减运算。

2.4.3 矩阵的乘法

1．两个矩阵相乘

按线性代数中矩阵乘法运算进行，即前面矩阵的各行元素，分别与后面矩阵的各列元素对应相乘并相加。

2．矩阵的数乘

数乘矩阵是数与矩阵每一个元素相乘。

3．两矩阵点乘

按数组运算规则，即A.*B表示A与B对应元素相乘。

【例2-13】 若A、B、k取值同【例2-12】，试进行乘法运算。

2.4.4 矩阵的左除和右除

1．除法运算

除法运算有左除（\）和右除（/）两种。若AB=C，则B=A\C，即B等于A左除C；A=C/B，即A等于C右除B。这两种运算常用于解线性方程组，即X=A\B是方程组AX=B的解，X=B/A是方程组XA=B的解。

2．两矩阵点除

按数组运算规则，即A./B表示A中元素与B中元素对应相除。

【例2-14】 对【例2-13】中的结果D2、D3进行除法运算。

2.4.5 逆矩阵

1．逆矩阵函数

对于n阶方阵A，如果存在AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。逆矩阵的函数为inv（A），也可以直接用矩阵的左除、右除和幂方运算来求逆矩阵，即A\eye（n）、eye（n）/A和A^（-1）。若A为奇异阵，将给出警告信息。

【例2-15】 对【例2-13】中的结果D3，求其逆矩阵。

上述4种命令运行结果都为

2．广义逆矩阵函数

广义逆矩阵又称伪逆矩阵。当矩阵A的行数与列数不等，或矩阵A的行列式为0时，则不存在逆矩阵。但存在广义逆矩阵P，满足APA=A，PAP=P，（AP）T=AP，（PA）T=PA。广义逆矩阵的函数为pinv（），其用法可参见2.5.4节超定方程组部分。

2.4.6 方阵的行列式

方阵A的行列式，用det（A）函数计算。

【例2-16】 已知矩阵，求矩阵A的行列式。

2.4.7 矩阵的特征值和特征向量

对于n阶方阵A，其特征值和特征向量用函数eig（A）来求。

【例2-17】 求矩阵的特征值和特征向量。

故求得矩阵A的特征值分别为1、2、5，且其对应的特征向量分别为（1 0 0）T、（1 1 0）T和（1 4 4）T。

2.4.8 矩阵元素的求和

对矩阵的元素按列或按行求和，可以利用函数sum（）来进行。

例如，对【例2-17】矩阵A，分别按列和行求其和。

2.4.9 矩阵元素的求积

对矩阵的元素按列或按行求积，可以利用函数prod（）来进行。

例如，对【例2-16】矩阵A，分别按列和行求其积。

2.4.10 矩阵元素的差分

对矩阵的元素按列或按行计算差分，可以利用函数diff（）来进行。

例如，对【例2-16】矩阵A，分别按列和行求出各元素的一次、二次差分。